Как измерили Землю · часть 2 из 2. Чтобы оценить радиус планеты, Эратосфену не понадобилось обойти её вокруг. Достаточно было узнать расстояние между двумя городами и сравнить высоту Солнца над ними. Сначала он получил длину земной окружности; радиус следует из неё по школьной формуле.
Кто, где и когда
Эратосфен работал в Александрии в Египте примерно в середине III века до нашей эры; часто называют дату около 240 года до нашей эры. Вторым пунктом в его рассуждении была Сиена — нынешний Асуан, южнее Александрии. Это самое раннее известное нам измерение размера Земли, для которого сохранилось объяснение геометрической идеи. Собственное сочинение Эратосфена не дошло до нас: ход опыта пересказал значительно более поздний автор Клеомед. Поэтому детали приборов и способа определения расстояния нельзя считать достоверно установленными.
Схема 1. Солнечные лучи почти параллельны, но местная вертикаль в двух городах направлена по-разному. Открыть крупнее →
От тени к углу
В полдень дня летнего солнцестояния в Сиене Солнце находилось почти над головой: вертикальный предмет почти не давал тени. В Александрии в это время тень оставалась. Если считать солнечные лучи параллельными, разница направлений местной вертикали равна углу между городами, если смотреть из центра шарообразной Земли.
По дошедшему до нас рассказу, этот угол составлял одну пятидесятую полного круга. В современных градусах это 360° / 50 = 7,2°. Градусы здесь — удобный перевод для читателя: Эратосфен выражал результат как долю круга.
Схема 2. Угол на рисунке увеличен; важна пропорция, а не масштаб рисунка. Открыть крупнее →
Как из одной дуги вышла вся Земля
Расстояние от Александрии до Сиены в древнем расчёте принимали равным 5000 стадиев. Если эта дуга составляет 1/50 полного круга, то окружность Земли равна 5000 × 50 = 250 000 стадиев. В других античных сообщениях встречается и значение 252 000 стадиев; исследователи обсуждают, когда и почему оно появилось.
Для круга длина окружности C = 2πR. Значит, радиус R = C / (2π). Так историческое измерение окружности превращается в оценку радиуса. Для наглядной современной прикидки: если взять расстояние между городами примерно 800 километров, получится окружность около 40 000 километров и радиус около 6366 километров. Это иллюстрация метода, а не точный перевод древних стадиев в километры.
Что в результате было приблизительным
Эратосфен исходил из шарообразности Земли, почти параллельных солнечных лучей и предположения, что города лежат примерно на одном меридиане. Последнее не вполне верно; Сиена также не расположена точно на тропике. Не до конца известно, какой длины стадий использовали в исходном расчёте. Поэтому популярную фразу «Эратосфен ошибся всего на доли процента» нельзя уверенно подтвердить простым переводом 250 000 стадиев в километры.
Сама геометрическая идея остаётся ясной и сильной: измерив угол и длину одного небольшого участка, можно узнать размер всей планеты. Сегодня средний объёмный радиус Земли оценивают в 6371 километр. При этом Земля слегка сплюснута: радиус у экватора и у полюсов различается.
Зачем позднее понадобился радиус
Зная радиус, можно вычислить объём Земли. А объём вместе со средней плотностью позволяет оценить массу. В первой статье рассказано, как притяжение горы и свинцовых шаров помогло найти эту плотность →